3. CÓMO EXPRESAR LOS NÚMEROS COMPLEJOS


Existen dos maneras de representar los números complejos:

Hasta ahora hemos utilizado sólo la forma binómica que se expresa mediante un número
a + bi.


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Pero también existen dos maneras más de expresar los números complejos. Veamos:

Cualquier número complejo se puede situar en como un punto en el plano y como tal, se puede considerar el extremo del vector que tiene como origen el origen de coordenadas. AFIJO




Este vector está delimitado por un módulo r i un argumento α

Por lo tanto se representa como: 4.jpg

Esta forma de expresión de los números complejos se le llama expresión polar o módulo argumental y se representa como:

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Ya sabemos expresar los números complejos de dos maneras y para realizar ciertas operaciones será más fácil utilizar una u otra, por lo que tenemos que aprender a pasar de una forma a la otra.

Si tenemos la forma binómica:

Tenemos a y b, nos falta averiguar r y
α.

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A partir de esta imagen podemos ver que a y b son los catetos del triángulo que forman r-a-b donde r es igual a la hipotenusa. Por lo tanto (según el Teorema de Pitágoras):

6.jpg equation.png

Y α se puede calcular haciendo la tangente b entre a:
7.jpg 8.jpg



    • En este caso α nos dará dos ángulos posibles, para saber exactamente cuál de los dos corresponde a nuestro afijo tendremos que fijarnos en los signos de a y b.


  • Si a es mayor que 0 y b también es mayor a 0 : el ángulo α deberá pertenecer al primer cuadrante.

  • Si a es menor que 0 y be es mayor que 0 : el ángulo α deberá pertencer al segundo cuadrante.

  • Si a es menor que 0 y b también es menor que 0 : el ángulo deberá pertenecer al tercer cuadrante.

  • Si a es mayor que 0 y b es menos que 0 : el ángulo α deberá pertenecer al cuarto cuadrante.



En cambio, si tenemos r y α y tenemos que buscar a y b, deberemos hacer.

9.jpg 11.jpg

10.jpg 12.jpg

Con estas igualdades, podemos decir:

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Esta manera de expresar un número complejo se le llama forma trigonométrica.




Para más información de podcasts ir aquí.

EJERCICIOS:




1. Pasa los siguientes números complejos a forma polar:

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17.jpg

16.jpg
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2. Pasa los siguientes números complejos a forma binómica:

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SOLUCIONES:


1.

18.jpg (a, b) : (0, -5) 40.jpg

26.jpg 27.jpg


28.jpg 31.jpg o 32.jpg


Tenemos dos posibilidades: que α sea 0º o que sea 180º. Entonces nos fijamos en los signos de a y b. Vemos que b es negativo y que a es 0 por lo que necesariamente el ángulo de este argumento debe ser 180º, está en el tercer cuadrante.


17.jpg (a,b) : (-1, -1) 41.jpg

33.jpg 34.jpg

35.jpg 36.jpg o 37.jpg

Tenemos dos posibilidades: que α sea 225º o que sea 315º. Entonces nos fijamos en los signos de a y b. Vemos que b es negativo y a también es negativo por lo que el ángulo de este argumento necesariamente debe estar en el tercer cuadrante por lo que es 225º.


16.jpg (a,b) : (-1, 1) 45.jpg


38.jpg 39.jpg

42.jpg 43.jpg o 44.jpg

Tenemos dos posibilidades: que α sea 225º o que sea 315º. Entonces nos fijamos en los signos de a y b. Vemos que b es positivo y a es negativo por lo que el ángulo de este argumento necesariamente debe estar en el segundo cuadrante por lo que es 135º.


15.jpg 52.jpg
(a,b) : 51.jpg

46.jpg 47.jpg

48.jpg 49.jpg o 50.jpg

Tenemos dos posibilidades: que α sea 60º o que sea 240º. Entonces nos fijamos en los signos de a y b. Vemos que b es positivo y a también por lo que el ángulo de este argumento necesariamente debe estar en el primer cuadrante por lo que es 60º.

2.


20.jpg

b = r sin α = 2 · 0 = 0
a = r cos α = 2 · (-1) = -2

(-2,0) : z = -2 + 0i = -2



60.jpg

b = r sin α = 2 · 0 = 0
a = r cos α = 2 · 1 = 2

(-2,0) : z = 2 + 0i = 2



24.jpg

b = r sin α = 2 · 1 = 2
a = r cos α = 2 · 0 = 0

(0,2) : z= 0 + 2i= 2i



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53.jpg
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55.jpg 56.jpg