OPERACIONES EN FORMA POLAR:

Como hemos visto anteriormente, para sumar o restar números complejos se utiliza la expresión binómica, en cambio, para multiplicar, dividir y potenciar es mejor utilizar la forma polar.

Por este motivo, el primer paso para multiplicar, dividir o potenciar números complejos es comprovar que los números estén expresados en forma polar, y, si no lo están, deberemos pasarlos de forma binómica a forma polar.

Recordemos cómo se pasa de forma binómica a forma polar: ( de z=a + bi a external image latex2png.2.php?z=100&eq=r_%5Cpropto
)

-Tenemos un número complejo en forma binómica (z=a+bi), como por ejemplo: -1-i
-Para pasarlo a forma polar debemos utilizar estas fórmulas:

  • external image latex2png.2.php?z=100&eq=r%3D%5Csqrt%7Ba%5E2%20%2B%20b%5E2%20%7D; external image latex2png.2.php?z=100&eq=r%3D%5Csqrt%7B%28-1%5E2%29%20%2B%20%28-1%5E2%29%20%20%7D; external image latex2png.2.php?z=100&eq=r%3D%20%5Csqrt%7B2%7D
  • external image latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cpropto%20arctg%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D ;external image latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cpropto%20arctg%5Cfrac%7B-1%7D%7B-1%7D%20%3D%201%5E0%20= external image latex2png.2.php?z=100&eq=225%5E0%20
  • Por lo tanto, ya sabemos que el número complejo z=-1-i, pasado a forma polar es: 27f4155ab27cfe5d363d1d561b3517c0.gif

  • MULTIPLICACIÓN:

Multiplicar dos números complejos consiste en hacer el producto de sus módulos y sumar sus argumentos.
Para ello se utiliza ésta fórmula:
b761cc3a50fa2b7d9ed11cc2a4bd374b-1.gif (Recordemos que los módulos son r y s y los argumentos son 7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08.gify 05845e95a493130bfd283f00883865e6.gif)

Ejemplo: ejemplo_multiplicacion.gif


Como vemos, hemos simplificado el grado del resultado dividiendo 450º entre 100º, y nos ha dado 45º. (Eso significa que el resultado es cien veces 45º, de esta manera, nos es más práctico saber en qué cuadrante está el resultado.)

Aquí tenéis un podcast donde se explica mediante un audio cómo multiplicar dos números complejos en forma polar:



  • DIVISIÓN:

Dividir dos números complejos consiste en dividir los módulos y restar sus argumentos.
Se representa de ésta manera:
equation(2).png

Ejemplo: be4b13f548d44e8f50077c0eec423456.gif

Aquí tenéis un podcast donde se explica mediante un audio cómo dividir dos números complejos en forma polar:



  • POTENCIACIÓN:

Para calcular las potencias de un número complejo se eleva el módulo al exponente de la potencia y se multiplica el argumento por el mismo exponente.
Fórmula utilizada: c8ab4630ce03cfd774d34a6b62e60236.gif

Ejemplo: 8f7109fee558d597da9fca21c02348fd.gif

Aquí tenéis un podcast donde se explica mediante un audio cómo potenciar dos números complejos en forma polar:




EJERCICIOS CON RESPUESTA:


Estos ejercicios están pensados para poner en práctica todos los conceptos dados anteriormente. Los ejercicios que pueden plantear dudas, están explicados más detalladamente entre pareréntesis, pero en general estos ejercicios son bastante fáciles y pueden ser considerados ejercicios de repaso.

  1. Calcula:

-Potenciaciones:

  • bcf997d53bd5050272fb796efd0da298.gif
(Recordemos que en esta operación, al potenciar la raíz cuadrada de 2, nos da 2)
  • b355125333e2d072d00ea2800ccc71e4.gif

  • potenciacio2.gif
(El número 32 sale de hacer la raíz cuadrda de 2 elevado a 10)

  • potenciación.gif

  • 03c90036a5297bec8758f525e4071b80.gif


-Divisiones:

  • 2b01b7dc10948a3e942805ecef48bf9a.gif

  • 6315e33ade422122732aec4679376bab.gif

  • división.gif
(En esta división, primero debimos dividir los dos números complejos que forman el numerador, y luego dividir el resultado entre el resultado de la división de los dos números complejos que forman el denominador.)
  • division2.gif

  • division3.gif
(Antes de dividir las dos raíces, debimos simplificar la raíz cuadrada de 8, que es igual a 2 por raíz cuadrada de dos)


-Multiplicaciones:

  • 79edb9201761f45fe8d36869021dffe9.gif

  • multiplicacioexistent.gif
  • multiplicacion.gif
  • multiplicacion3.gif
(En este ejercicio, antes de hacer la división, debimos hacer las correspondientes multiplicaciones del numerador)
  • multiplicacio2.gif