3.+Cómo+expresar+los+números+complejos

**3. CÓMO EXPRESAR LOS NÚMEROS COMPLEJOS**
Existen dos maneras de representar los números complejos:

Hasta ahora hemos utilizado sólo la forma binómica que se expresa mediante un número **a + bi. **

 Pero también existen dos maneras más de expresar los números complejos. Veamos:

Cualquier número complejo se puede situar en como un punto en el plano y como tal, se puede considerar el extremo del vector que tiene como origen el origen de coordenadas. AFIJO

media type="custom" key="5613423" width="70" height="70" media type="custom" key="5617775"

Este vector está delimitado por un módulo **r ** i un argumento α

** Por lo tanto se representa como : ** 

Esta forma de expresión de los números complejos se le llama **expresión polar** o **módulo argumental** y se representa como:

 Ya sabemos expresar los números complejos de dos maneras y para realizar ciertas operaciones será más fácil utilizar una u otra, por lo que tenemos que aprender a pasar de una forma a la otra.

Si tenemos la forma binómica:

Tenemos a y b, nos falta averiguar r y α.

A partir de esta imagen podemos ver que a y b son los catetos del triángulo que forman r-a-b donde r es igual a la hipotenusa. Por lo tanto (según el Teorema de Pitágoras):



Y α se puede calcular haciendo la tangente b entre a:


 * En este caso α nos dará dos ángulos posibles, para saber exactamente cuál de los dos corresponde a nuestro afijo tendremos que fijarnos en los signos de a y b.


 * Si a es mayor que 0 y b también es mayor a 0 : el ángulo α deberá pertenecer al primer cuadrante.


 * Si a es menor que 0 y be es mayor que 0 : el ángulo α deberá pertencer al segundo cuadrante.


 * Si a es menor que 0 y b también es menor que 0 : el ángulo deberá pertenecer al tercer cuadrante.

<span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-weight: normal;">
 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-weight: normal;">Si a es mayor que 0 y b es menos que 0 : el ángulo α deberá pertenecer al cuarto cuadrante.

En cambio, si tenemos r y α y tenemos que buscar a y b, deberemos hacer.





Con estas igualdades, podemos decir:




 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; font-weight: normal;">Esta manera de expresar un número complejo se le llama forma trigonométrica. **

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**<span style="color: #434684; font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">EJERCICIOS: **

 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;"> 1. Pasa los siguientes números complejos a forma polar: **








 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;"> 2. Pasa los siguientes números complejos a forma binómica: **









**<span style="color: #424794; font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">SOLUCIONES: **

 * 1.**

(a, b) : (0, -5)



o

<span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">Tenemos dos posibilidades: que <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; line-height: 14px;">α sea 0º o que sea 180º. Entonces nos fijamos en los signos de a y b. Vemos que b es negativo y que a es 0 por lo que necesariamente el ángulo de este argumento debe ser 180º, está en el tercer cuadrante.

(a,b) : (-1, -1)



o

<span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">Tenemos dos posibilidades: que <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; line-height: 14px;">α sea 225º o que sea 315º. Entonces nos fijamos en los signos de a y b. Vemos que b es negativo y a también es negativo por lo que el ángulo de este argumento necesariamente debe estar en el tercer cuadrante por lo que es 225º.

(a,b) : (-1, 1)



o

<span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">Tenemos dos posibilidades: que <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; line-height: 14px;">α sea 225º o que sea 315º. Entonces nos fijamos en los signos de a y b. Vemos que b es positivo y a es negativo por lo que el ángulo de este argumento necesariamente debe estar en el segundo cuadrante por lo que es 135º.

(a,b) :



o

<span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;">Tenemos dos posibilidades: que <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; line-height: 14px;">α sea 60º o que sea 240º. Entonces nos fijamos en los signos de a y b. Vemos que b es positivo y a también por lo que el ángulo de este argumento necesariamente debe estar en el primer cuadrante por lo que es 60º.


 * <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive;"> 2. **



b = r sin <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; line-height: 14px;">α = 2 · 0 = 0 a = r cos α = 2 · (-1) = -2

(-2,0) : z = -2 + 0i = -2



b = r sin <span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; line-height: 14px;">α = 2 · 0 = 0 a = r cos α = 2 · 1 = 2

(-2,0) : z = 2 + 0i = 2



<span style="font-family: 'Comic Sans MS',cursive; line-height: 14px;">b = r sin α = 2 · 1 = 2 a = r cos α = 2 · 0 = 0

(0,2) : z= 0 + 2i= 2i